গণিতের গুরুত্বপূর্ণ ২ টি সমস্যা সমাধানের শর্টকাট টেকনিক

স্রোতের অনুকূল ও প্রতিকূলের গতি এবং তেল মাখা কলাগাছে বানরের ওঠার সমস্যাগুলোও বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় প্রায়ই দেখা যায়। এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য কিছু নির্দিষ্ট শর্টকাট টেকনিক রয়েছে। নিচে সেগুলো আলোচনা করা হলো:

১. স্রোতের অনুকূল ও প্রতিকূলের গতি সংক্রান্ত সমস্যা:

• ধরা যাক:

  • স্থির জলে নৌকার বেগ = $u$ কিমি/ঘণ্টা
  • স্রোতের বেগ = $v$ কিমি/ঘণ্টা

• টেকনিক:

  • স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ = $(u+v)$ কিমি/ঘণ্টা
  • স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ = $(u-v)$ কিমি/ঘণ্টা

• কিছু গুরুত্বপূর্ণ সূত্র:

  • যদি দূরত্ব $d$ হয়, তবে অনুকূলে যেতে সময় লাগবে = u+vd​ ঘণ্টা।
  • যদি দূরত্ব $d$ হয়, তবে প্রতিকূলে যেতে সময় লাগবে = u−vd​ ঘণ্টা।
  • যদি অনুকূলে যেতে T1​ সময় এবং প্রতিকূলে যেতে T2​ সময় লাগে, এবং দূরত্ব একই থাকে ($d$), তবে:
    • d=(u+v)T1​=(u−v)T2​
  • যদি অনুকূল বেগ $x$ কিমি/ঘণ্টা এবং প্রতিকূল বেগ $y$ কিমি/ঘণ্টা হয়, তবে:
    • স্থির জলে নৌকার বেগ ($u$) = 2x+y​ কিমি/ঘণ্টা
    • স্রোতের বেগ ($v$) = 2x−y​ কিমি/ঘণ্টা

• উদাহরণ: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব ৪ ঘণ্টায় অতিক্রম করে এবং স্রোতের প্রতিকূলে একই দূরত্ব ৬ ঘণ্টায় অতিক্রম করে। যদি স্থির জলে নৌকার বেগ ১২ কিমি/ঘণ্টা হয়, তবে স্রোতের বেগ কত?

  • এখানে, T1​=4 ঘণ্টা, T2​=6 ঘণ্টা, $u=12$ কিমি/ঘণ্টা। দূরত্ব $d$ উভয় ক্ষেত্রেই সমান।
  • $d=(12+v)\times 4=(12-v)\times 6$
  • $48+4v=72-6v$
  • $10v=24$
  • $v=2.4$ কিমি/ঘণ্টা। সুতরাং, স্রোতের বেগ ২.৪ কিমি/ঘণ্টা।

২. তেল মাখা কলাগাছে বানরের ওঠার সমস্যা:

• ধরা যাক:

  • বানর এক লাফে ওঠে = $U$ মিটার
  • বানর পিছলে নামে = $D$ মিটার
  • কলাগাছের মোট উচ্চতা = $H$ মিটার

• টেকনিক:

  • প্রথম $(H-U)$ মিটার উঠতে বানরের যতগুলো লাফ লাগবে = U−DH−U​ (যদি ভাগফল পূর্ণ সংখ্যা না হয়, তবে তার পরবর্তী পূর্ণ সংখ্যা নিতে হবে)।
  • এরপরের এক লাফে বানরটি একেবারে উপরে উঠে যাবে এবং আর পিছলাবে না।
  • সুতরাং, মোট লাফ লাগবে = ⌈U−DH−U​⌉+1 (এখানে $\lceil x\rceil$ মানে $x$ এর ceiling function, অর্থাৎ $x$ এর সমান বা তার থেকে বড় নিকটতম পূর্ণ সংখ্যা)।

• বিশেষ ক্ষেত্র: যদি $(H-U)$ কে $(U-D)$ দ্বারা ভাগ করলে পূর্ণ সংখ্যা পাওয়া যায়, তবে মোট লাফ লাগবে = U−DH−U​+1।

• উদাহরণ: একটি বানর একটি ২০ মিটার উঁচু তেল মাখা কলাগাছে উঠতে চেষ্টা করছে। বানরটি প্রথম মিনিটে ২ মিটার ওঠে এবং পরের মিনিটে ১ মিটার পিছলে নামে। বানরটি কত মিনিটে গাছের মাথায় পৌঁছাবে?

  • এখানে, $H=20$ মিটার, $U=2$ মিটার, $D=1$ মিটার।
  • প্রথম $(20-2)=18$ মিটার উঠতে বানরের লাফ লাগবে = 2−118​=18 টি।
  • এই ১৮টি লাফে সময় লাগবে = ১৮ মিনিট (যেহেতু প্রতি ২ লাফে ১ মিনিট সময় লাগছে – এই ধারণাটি ভুল। প্রতিটি লাফেই সময় লাগে)।
  • আসলে, প্রতি ২ মিনিটে বানর $(\mathrm{২}-\mathrm{১})=\mathrm{১}$ মিটার ওঠে।
  • সুতরাং, ১৬ মিটার উঠতে সময় লাগবে = $\mathrm{১৬}\times \mathrm{২}=\mathrm{৩২}$ মিনিট।
  • এরপরের লাফে (১৭তম মিনিটে) বানর আরও ২ মিটার উঠবে এবং $(\mathrm{১৬}+\mathrm{২})=\mathrm{১৮}$ মিটারে পৌঁছাবে।
  • এরপরের লাফে (১৮তম মিনিটে) বানর আরও ২ মিটার উঠবে এবং $(\mathrm{১৮}+\mathrm{২})=\mathrm{২০}$ মিটারে পৌঁছে যাবে।
  • সুতরাং, বানরের মোট সময় লাগবে = $(\mathrm{১৮}-\mathrm{১})\times \mathrm{২}+\mathrm{১}=\mathrm{৩৫}$ মিনিট (শেষ লাফে আর পিছলাবে না)।

  সঠিক টেকনিক:

  • কার্যকরী অগ্রগতি প্রতি লাফে = $(U-D)$ মিটার (শেষ লাফ বাদ দিয়ে)।
  • $(H-U)$ মিটার উঠতে লাফ লাগবে = U−DH−U​ (পূর্ণ সংখ্যায়)।
  • মোট লাফ = U−DH−U​+1
  • সময় = মোট লাফ $\times$ প্রতি লাফে সময় (যদি দেওয়া থাকে)। যদি প্রতি লাফে ১ মিনিট ধরা হয়, তবে মোট লাফই মোট সময়।

  আমাদের উদাহরণে:

  • $(H-U)=20-2=18$ মিটার
  • $(U-D)=2-1=1$ মিটার
  • লাফ লাগবে = 118​+1=19 টি।
  • যদি প্রতি লাফে ১ মিনিট লাগে, তবে সময় লাগবে ১৯ মিনিট।

  যদি প্রতি ২ মিনিটে একটি করে লাফ হয় (ওঠা ও পিছলানো মিলে):

  • $(H-U)=18$ মিটার। প্রতি ২ মিনিটে অগ্রগতি ১ মিটার।
  • তাহলে ১৮ মিটার উঠতে সময় লাগবে $\mathrm{১৮}\times \mathrm{২}=\mathrm{৩৬}$ মিনিট।
  • এরপর ১৯তম মিনিটে বানর ২ মিটার উঠে ২০ মিটারে পৌঁছে যাবে।
  • মোট সময় = ৩৬ + ১ = ৩৭ মিনিট।

  প্রশ্নে সময়ের উল্লেখ না থাকলে শুধু লাফের সংখ্যা বের করাই যথেষ্ট।

এই শর্টকাট টেকনিকগুলো মনে রাখলে এবং নিয়মিত অনুশীলন করলে এই ধরনের সমস্যাগুলো পরীক্ষায় খুব সহজেই সমাধান করা সম্ভব। পরীক্ষার হলে মাথা ঠান্ডা রেখে দ্রুত সমস্যা চিহ্নিত করা এবং সঠিক টেকনিক প্রয়োগ করাই সাফল্যের চাবিকাঠি।