গণিতের গুরুত্বপূর্ণ ০৬ টি সমস্যা সমাধানের শর্টকাট টেকনিক

পরীক্ষার পরিস্থিতিতে দ্রুত এবং নির্ভুল উত্তর করার জন্য এই শর্টকাট টেকনিকগুলো অত্যন্ত উপযোগী। তবে মনে রাখবেন, শুধুমাত্র মুখস্থ করলেই হবে না, এই টেকনিকগুলো বিভিন্ন ধরনের সমস্যায় প্রয়োগ করার দক্ষতা অর্জন করতে হবে। নিয়মিত অনুশীলন এবং বিভিন্ন ধরণের প্রশ্নের সাথে পরিচিতি এক্ষেত্রে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

১. গড় (Average) সম্পর্কিত সমস্যা:

• টেকনিক: যদি n1​ সংখ্যক জিনিসের গড় x1​ এবং n2​ সংখ্যক জিনিসের গড় x2​ হয়, তবে সবগুলো জিনিসের গড় হবে: n1​+n2​n1​x1​+n2​x2​​।
• উদাহরণ: প্রথম ১০টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় ৫.৫ এবং পরবর্তী ২০টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় ১৫.৫। তবে প্রথম ৩০টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত?
  • এখানে, n1​=10, x1​=5.5, n2​=20, x2​=15.5
  • গড় = 10+20(10×5.5)+(20×15.5)​=3055+310​=30365​=12.17 (প্রায়)।

২. অনুপাতের সমষ্টি বা পার্থক্য দেওয়া থাকলে সংখ্যা নির্ণয়:

• টেকনিক: যদি দুটি সংখ্যার অনুপাত $a:b$ হয় এবং তাদের সমষ্টি $S$ হয়, তবে সংখ্যা দুটি হবে a+ba​×S এবং a+bb​×S.
• টেকনিক: যদি দুটি সংখ্যার অনুপাত $a:b$ হয় এবং তাদের পার্থক্য $D$ হয়, তবে সংখ্যা দুটি হবে a−ba​×D এবং a−bb​×D (যদি $a>b$ হয়)।
• উদাহরণ (সমষ্টি): দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩:৪ এবং তাদের সমষ্টি ১৪০। সংখ্যা দুটি কত?
  • প্রথম সংখ্যা = 3+43​×140=73​×140=60
  • দ্বিতীয় সংখ্যা = 3+44​×140=74​×140=80
• উদাহরণ (পার্থক্য): দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৩ এবং তাদের পার্থক্য ২০। সংখ্যা দুটি কত?
  • প্রথম সংখ্যা = 5−35​×20=25​×20=50
  • দ্বিতীয় সংখ্যা = 5−33​×20=23​×20=30

৩. ট্রেন সংক্রান্ত সমস্যা:

• ধরা যাক:

  • ট্রেনের দৈর্ঘ্য = LT​ মিটার
  • প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = LP​ মিটার (যদি থাকে)
  • ট্রেনের বেগ = ST​ মিটার/সেকেন্ড
  • ব্যক্তি বা স্তম্ভের দৈর্ঘ্য নগণ্য ধরা হয়।

• টেকনিক:

  • একটি স্তম্ভ বা ব্যক্তিকে অতিক্রম করতে ট্রেনের সময় লাগবে = ST​LT​​ সেকেন্ড।
  • একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনের সময় লাগবে = ST​LT​+LP​​ সেকেন্ড।
  • যদি দুটি ট্রেন বিপরীত দিক থেকে S1​ এবং S2​ বেগে আসে এবং তাদের দৈর্ঘ্য L1​ ও L2​ হয়, তবে তারা পরস্পরকে অতিক্রম করতে সময় নেবে = S1​+S2​L1​+L2​​ সেকেন্ড।
  • যদি দুটি ট্রেন একই দিকে S1​ এবং S2​ বেগে (S1​>S2​) চলে এবং তাদের দৈর্ঘ্য L1​ ও L2​ হয়, তবে দ্রুতগতির ট্রেনটি ধীরগতির ট্রেনটিকে অতিক্রম করতে সময় নেবে = S1​−S2​L1​+L2​​ সেকেন্ড।

• বেগ কিলোমিটার/ঘণ্টা থেকে মিটার/সেকেন্ডে পরিবর্তন: $x$ কিমি/ঘণ্টা = x×185​ মিটার/সেকেন্ড।

৪. মিশ্রণ (Mixture) সংক্রান্ত সমস্যা:

• টেকনিক: যদি একটি পাত্রে $x$ লিটার দুধ এবং $y$ লিটার জল থাকে, এবং যদি $z$ লিটার মিশ্রণ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল মেশানো হয়, তবে $n$ বার এই প্রক্রিয়া করার পর দুুধের পরিমাণ হবে: x(1−x+yz​)n লিটার।
• উদাহরণ: একটি পাত্রে ৮০ লিটার দুধ আছে। এর থেকে ৮ লিটার দুধ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল মেশানো হলো। এই প্রক্রিয়া আরও একবার করা হলো। এখন পাত্রে কত লিটার দুধ আছে?
  • এখানে, $x=80$, $y=0$ (প্রথমে শুধু দুধ ছিল), $z=8$, $n=2$
  • দুধের পরিমাণ = 80(1−80+08​)2=80(1−101​)2=80(109​)2=80×10081​=1006480​=64.8 লিটার।

৫. বীজগণিতের কিছু সূত্র দ্রুত প্রয়োগ:

• (a+b)2=a2+2ab+b2
• (a−b)2=a2−2ab+b2
• (a+b)(a−b)=a2−b2
• (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

এই সূত্রগুলো সরাসরি প্রয়োগ না করে অনেক সময় সামান্য পরিবর্তন করে হিসাব সহজ করা যায়। যেমন, (102)2=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.

৬. বিভাজ্যতা (Divisibility) সংক্রান্ত নিয়ম:

• ২ দ্বারা বিভাজ্য: শেষ অঙ্ক ০, ২, ৪, ৬ বা ৮ হতে হবে।
• ৩ দ্বারা বিভাজ্য: সংখ্যার অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
• ৪ দ্বারা বিভাজ্য: শেষ দুটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে অথবা শেষ দুটি অঙ্ক ০০ হতে হবে।
• ৫ দ্বারা বিভাজ্য: শেষ অঙ্ক ০ বা ৫ হতে হবে।
• ৬ দ্বারা বিভাজ্য: সংখ্যাটি ২ এবং ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
• ৯ দ্বারা বিভাজ্য: সংখ্যার অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
• ১০ দ্বারা বিভাজ্য: শেষ অঙ্ক ০ হতে হবে।
• ১১ দ্বারা বিভাজ্য: জোড় স্থানীয় অঙ্কগুলোর সমষ্টি এবং বিজোড় স্থানীয় অঙ্কগুলোর সমষ্টির পার্থক্য ০ বা ১১ এর গুণিতক হতে হবে।

এই নিয়মগুলো MCQ প্রশ্নের অপশনগুলো বাদ দিতে অনেক সাহায্য করে।