গনিতের গুরুত্বপূর্ণ ৫টি সমস্যা সমাধানের শর্টকাট টেকনিক

এই টেকনিকগুলো নিয়মিত চর্চা করলে পরীক্ষার হলে দ্রুত এবং আত্মবিশ্বাসের সাথে সমস্যার সমাধান করা সম্ভব। মনে রাখবেন, প্রতিটি শর্টকাট টেকনিক একটি নির্দিষ্ট ধরণের সমস্যার জন্য প্রযোজ্য। তাই সমস্যা চিনে সঠিক টেকনিক প্রয়োগ করাই সাফল্যের মূল চাবিকাঠি। আপনার আরও কিছু জানার থাকলে অবশ্যই জিজ্ঞাসা করুন।

১. সময়ের পার্থক্য নির্ণয় সংক্রান্ত সমস্যা:

• টেকনিক: যদি কোনো কাজ শুরু হওয়ার নির্দিষ্ট সময় এবং শেষ হওয়ার নির্দিষ্ট সময় দেওয়া থাকে, তবে মোট সময় বের করার জন্য ঘণ্টার সাথে ঘণ্টা এবং মিনিটের সাথে মিনিট যোগ বা বিয়োগ করতে হয়। প্রয়োজনে ধার নিতে বা দিতে হয়।

• উদাহরণ: একটি কাজ সকাল ৯টা ১৫ মিনিটে শুরু হয়ে দুপুর ১২টা ৩০ মিনিটে শেষ হলে, মোট কত সময় কাজটি চলেছে?

  • শেষ সময়: ১২টা ৩০ মিনিট
  • শুরু সময়: ৯টা ১৫ মিনিট
  • বিয়োগ করে পাই:
    • ঘণ্টা: ১২ – ৯ = ৩ ঘণ্টা
    • মিনিট: ৩০ – ১৫ = ১৫ মিনিট
  • সুতরাং, কাজটি ৩ ঘণ্টা ১৫ মিনিট চলেছে।

• যদি শেষ হওয়ার সময় শুরুর সময়ের আগের দিন হয়: সেক্ষেত্রে শেষ হওয়ার সময়ের সাথে ২৪ ঘণ্টা যোগ করে তারপর শুরুর সময় বিয়োগ করতে হয়।

২. সরল অনুপাত থেকে যৌগিক অনুপাত নির্ণয়:

• টেকনিক: যদি $a:b$ এবং $c:d$ দুটি সরল অনুপাত হয়, তবে তাদের যৌগিক অনুপাত হবে $ac:bd$. যদি তিনটি অনুপাত থাকে $a:b$, $c:d$ এবং $e:f$, তবে যৌগিক অনুপাত হবে $ace:bdf$.

• উদাহরণ: যদি $A:B=2:3$ এবং $B:C=4:5$ হয়, তবে $A:C$ কত?

  • এখানে সরাসরি যৌগিক অনুপাত বের করা যাবে না, কারণ মধ্যের পদ (B) ভিন্ন। প্রথমে $A:B:C$ বের করতে হবে।
  • $A:B=2:3=2\times 4:3\times 4=8:12$
  • $B:C=4:5=4\times 3:5\times 3=12:15$
  • সুতরাং, $A:B:C=8:12:15$.
  • অতএব, $A:C=8:15$.
• শর্টকাট (যখন শুধু প্রথম ও শেষ পদের অনুপাত চায়):

  যদি A:B=ba​, B:C=dc​, C:D=fe​ হয়, তবে A:D=ba​×dc​×fe​.

  আমাদের আগের উদাহরণে, A:B=32​ এবং B:C=54​. সুতরাং A:C=32​×54​=158​, অর্থাৎ $A:C=8:15$.

৩. ঐকিক নিয়ম (Unitary Method) সংক্রান্ত সমস্যা:

• টেকনিক: প্রথমে একটি জিনিসের দাম বা পরিমাণ বের করে, তারপর প্রয়োজনীয় সংখ্যক জিনিসের দাম বা পরিমাণ বের করা হয়।

• উদাহরণ: যদি ১৫টি কলমের দাম ৭৫ টাকা হয়, তবে ২০টি কলমের দাম কত?

  • ১টি কলমের দাম = ১৫৭৫​=৫ টাকা।
  • ২০টি কলমের দাম = $\mathrm{৫}\times \mathrm{২০}=\mathrm{১০০}$ টাকা।

৪. নৌকা ও স্রোতের সমস্যায় দূরত্ব নির্ণয়:

• টেকনিক: যদি স্থির জলে নৌকার বেগ $u$ এবং স্রোতের বেগ $v$ হয়, এবং নৌকাটি স্রোতের অনুকূলে t1​ সময়ে $d$ দূরত্ব অতিক্রম করে এবং স্রোতের প্রতিকূলে t2​ সময়ে একই দূরত্ব অতিক্রম করে, তবে দূরত্ব d=(u+v)t1​(u+v)t1​(u−v)t2​​=(u−v)t2​ অথবা d=(u+v)t1​=(u−v)t2​(u+v)t1​(u−v)t2​​.

• যদি শুধু সময় দেওয়া থাকে এবং স্থির জলের বেগ ও স্রোতের বেগের অনুপাত দেওয়া থাকে: ধরা যাক স্থির জলের বেগ ও স্রোতের বেগের অনুপাত $a:b$. তাহলে অনুকূলের বেগ হবে $k(a+b)$ এবং প্রতিকূলের বেগ হবে $k(a-b)$ (যেখানে $k$ একটি ধ্রুবক)। দূরত্ব d=k(a+b)t1​=k(a−b)t2​. এখান থেকে $k$ এর মান বের করে দূরত্ব নির্ণয় করা যায়।

৫. শতকরা বৃদ্ধি বা হ্রাসের ধারাবাহিক প্রভাব:

• টেকনিক: যদি কোনো কিছুর মান প্রথমে $x\%$ বৃদ্ধি পায় এবং পরে $y\%$ বৃদ্ধি পায়, তবে মোটের উপর বৃদ্ধি হবে: (x+y+100xy​)%.

• টেকনিক: যদি প্রথমে $x\%$ বৃদ্ধি পায় এবং পরে $y\%$ হ্রাস পায়, তবে মোটের উপর পরিবর্তন হবে: (x−y−100xy​)%.

• টেকনিক: যদি প্রথমে $x\%$ হ্রাস পায় এবং পরে $y\%$ হ্রাস পায়, তবে মোটের উপর হ্রাস হবে: (−x−y+100xy​)%=−(x+y−100xy​)%.

• উদাহরণ: একটি শহরের জনসংখ্যা প্রথমে ১০% বাড়লো এবং পরে ২০% বাড়লো। মোটের উপর জনসংখ্যা কত শতাংশ বাড়লো?

  • এখানে, $x=10$ এবং $y=20$
  • মোট বৃদ্ধি = (10+20+10010×20​)%=(30+2)%=32%।